{"id":969,"date":"2017-03-27T12:00:33","date_gmt":"2017-03-27T18:00:33","guid":{"rendered":"http:\/\/naps.com.mx\/blog\/?p=969"},"modified":"2017-11-16T12:09:45","modified_gmt":"2017-11-16T18:09:45","slug":"tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/naps.com.mx\/blog\/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica\/","title":{"rendered":"T\u00e9cnicas de conteo en Probabilidad y Estad\u00edstica"},"content":{"rendered":"

Las T\u00e9cnicas de conteo<\/strong> son utilizadas en Probabilidad y Estad\u00edstica para determinar el n\u00famero total de resultados. En este art\u00edculo analizamos: Principio de multiplicaci\u00f3n, regla factorial, permutaciones, permutaci\u00f3n circular y permutaciones con repeticiones.<\/p>\n

\"<\/a>

Aprende T\u00e9cnicas de Conteo<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

Por ejemplo, si para ganar una loter\u00eda se requiere elegir 5 n\u00fameros enteros diferentes entre 1 y 39, la probabilidad de ganar esa loter\u00eda es de 1 sobre el n\u00famero de distintas formas de seleccionar 5 n\u00fameros de 39. Las T\u00e9cnicas de conteo nos permiten obtener esa cantidad.<\/p>\n

T\u00e9cnicas de conteo<\/h2>\n

Principio de multiplicaci\u00f3n<\/h3>\n

Si un evento E<\/em> puede ocurrir de m<\/em> formas, e independiente de este evento un evento F<\/em> puede ocurrir de n<\/em> formas, entonces los eventos juntos pueden ocurrir un total de m x n<\/em> formas.<\/p>\n

Ejemplo: Men\u00fa en restaurant<\/strong><\/p>\n

Supongamos que un restaurant ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. \u00bfDe cu\u00e1ntas formas un cliente puede ordenar una comida?<\/p>\n

Respuesta<\/strong>: Se aplica el principio de multiplicaci\u00f3n, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una comida: 40 formas.<\/p>\n

 <\/p>\n

Regla factorial<\/h3>\n

Una colecci\u00f3n de n<\/em> elementos distintos se pueden acomodar de n!<\/em><\/strong> formas diferentes. Es decir, el primer elemento se puede seleccionar de n<\/em> maneras distintas, el segundo de n-1<\/em> maneras, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n

Ejemplo:\u00a0Mesa de honor<\/strong><\/p>\n

Se requiere acomodar a 8 personas en una mesa de honor y se le solicita que haga un listado de las diferentes formas de ordenar a las personas. Antes de aceptar la tarea decide investigar cu\u00e1ntas formas diferentes existen.<\/p>\n

Respuesta<\/strong>: Se aplica la regla factorial. Para el primer puesto hay 8 opciones, para el segundo, 7, para el tercero 6, y as\u00ed sucesivamente. Entonces hay 8! Formas de acomodar a las personas: 40320. (No ser\u00eda sencillo tratar de hacer la lista completa).<\/p>\n

Ejemplo: Ni\u00f1os y ni\u00f1as<\/strong><\/p>\n

Una familia tiene 3 ni\u00f1os y 2 ni\u00f1as. \u00bfDe cu\u00e1ntas formas pueden sentarse en una fila? \u00bfCu\u00e1ntas formas hay si los ni\u00f1os desean sentarse separados de las ni\u00f1as?<\/p>\n

Respuesta:<\/strong> Hay 5! formas de sentarse: 120.<\/p>\n

Si desean sentarse separados, hay 2 formas de distribuirlos: HHHMM y MMHHH y en cada caso los ni\u00f1os pueden sentarse de 3! formas diferentes y las ni\u00f1as de 2! Por lo que hay 3! x 2! x 2! formas: 24 formas.<\/p>\n

Ejemplo: Mesa circular.<\/strong><\/p>\n

Encuentre el n\u00famero de formas en las que 7 personas pueden organizarse alrededor de una mesa circular.<\/p>\n

Respuesta:<\/strong> Una persona puede sentarse en cualquier lugar de una mesa circular. Las otras 6 personas pueden organizarse en 6! formas. Este es un ejemplo de permutaci\u00f3n circular.<\/strong> N<\/em> objetos pueden ordenarse en un circulo en (n-1)! formas.<\/p>\n

 <\/p>\n

Permutaciones<\/h3>\n

Se le llama permutaci\u00f3n<\/strong> a cualquier ordenamiento de un conjunto de n<\/em> objetos en un orden dato. Un ordenamiento de r<\/em> de \u00e9stos objetos se denomina permutaci\u00f3n r<\/em> o permutaci\u00f3n de n objetos tomados r a la vez<\/em>.<\/p>\n

La siguiente f\u00f3rmula aplica\u2026<\/p>\n

    \n
  • Si existen n<\/em> elementos diferentes disponibles. (No aplica si algunos elementos son iguales)<\/li>\n
  • Se selecciona r<\/em> de los n elementos<\/li>\n
  • Los reordenamientos de los mismos elementos se consideran secuencias diferentes<\/li>\n<\/ul>\n

    _{n}P_{r} = \\frac {n!} {(n-r)!} <\/span><\/p>\n

    Ejemplo: 4 sitios disponibles<\/strong><\/p>\n

    \u00bfDe cu\u00e1ntas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?<\/p>\n

    Respuesta<\/strong><\/p>\n _{10}P_{4} = \\frac {10!}{(10-4)!} <\/span>\n

    = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 maneras.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Ejemplo: 3 premios<\/strong><\/p>\n

    En una clase de 10 alumnos se van a distribuir 3 premios. \u00bfDe cu\u00e1ntas formas puede hacerse si los premios son diferentes?<\/p>\n

    Repuesta<\/strong>: \u00a0\\frac{10!}{(10-3)!}<\/span><\/p>\n

    = 10 x 9 x 8 = 720 formas<\/p>\n

     <\/p>\n

    Permutaciones con repeticiones<\/h3>\n

    Cuando se desea conocer el n\u00famero de permutaciones de un conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales.<\/p>\n

    La siguiente f\u00f3rmula aplica cuando\u2026<\/p>\n

      \n
    • Existen n<\/em> elementos disponibles, y algunos de ellos son id\u00e9nticos a otros<\/li>\n
    • Seleccionamos todos los n<\/em> elementos (sin reemplazo)<\/li>\n
    • Consideramos que los reordenamientos son secuencias diferentes.<\/li>\n<\/ul>\n

       <\/p>\n

      =\\frac{n!}{n1! n2! ... nk!}<\/span><\/p>\n

      Ejemplo: Se\u00f1ales con banderas<\/strong><\/p>\n

      En un barco se\u00a0 pueden izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes. \u00bfCu\u00e1ntas se\u00f1ales distintas pueden indicarse con la colocaci\u00f3n de las 9 banderas?<\/p>\n

      Respuesta:<\/strong><\/p>\n

      \\frac {9!} {3! 2! 4!} <\/span> = 1260 se\u00f1ales diferentes.<\/p>\n

       <\/p>\n

      Ejemplo: Sociological<\/strong><\/p>\n

      Utilizando las letras de la palabra SOCIOLOGICAL, \u00bfcu\u00e1ntas permutaciones distintas pueden formarse?<\/p>\n

      Respuesta: Hay 12 letras en la palabra, y 3 de ellas son O, 2 son C, 2 son I, y 2 son L.<\/p>\n

      Por lo que hay \\frac {12!} {3! 2! 2!} <\/span> formas.<\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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