Técnicas de conteo en Probabilidad y Estadística
Las Técnicas de conteo son utilizadas en Probabilidad y Estadística para determinar el número total de resultados. En este artículo analizamos: Principio de multiplicación, regla factorial, permutaciones, permutación circular y permutaciones con repeticiones.
Aprende Técnicas de Conteo
Por ejemplo, si para ganar una lotería se requiere elegir 5 números enteros diferentes entre 1 y 39, la probabilidad de ganar esa lotería es de 1 sobre el número de distintas formas de seleccionar 5 números de 39. Las Técnicas de conteo nos permiten obtener esa cantidad.
Técnicas de conteo
Principio de multiplicación
Si un evento E puede ocurrir de m formas, e independiente de este evento un evento F puede ocurrir de n formas, entonces los eventos juntos pueden ocurrir un total de m x n formas.
Ejemplo: Menú en restaurant
Supongamos que un restaurant ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida?
Respuesta: Se aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una comida: 40 formas.
Regla factorial
Una colección de n elementos distintos se pueden acomodar de n! formas diferentes. Es decir, el primer elemento se puede seleccionar de n maneras distintas, el segundo de n-1 maneras, y así sucesivamente.
Ejemplo: Mesa de honor
Se requiere acomodar a 8 personas en una mesa de honor y se le solicita que haga un listado de las diferentes formas de ordenar a las personas. Antes de aceptar la tarea decide investigar cuántas formas diferentes existen.
Respuesta: Se aplica la regla factorial. Para el primer puesto hay 8 opciones, para el segundo, 7, para el tercero 6, y así sucesivamente. Entonces hay 8! Formas de acomodar a las personas: 40320. (No sería sencillo tratar de hacer la lista completa).
Ejemplo: Niños y niñas
Una familia tiene 3 niños y 2 niñas. ¿De cuántas formas pueden sentarse en una fila? ¿Cuántas formas hay si los niños desean sentarse separados de las niñas?
Respuesta: Hay 5! formas de sentarse: 120.
Si desean sentarse separados, hay 2 formas de distribuirlos: HHHMM y MMHHH y en cada caso los niños pueden sentarse de 3! formas diferentes y las niñas de 2! Por lo que hay 3! x 2! x 2! formas: 24 formas.
Ejemplo: Mesa circular.
Encuentre el número de formas en las que 7 personas pueden organizarse alrededor de una mesa circular.
Respuesta: Una persona puede sentarse en cualquier lugar de una mesa circular. Las otras 6 personas pueden organizarse en 6! formas. Este es un ejemplo de permutación circular. N objetos pueden ordenarse en un circulo en (n-1)! formas.
Permutaciones
Se le llama permutación a cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dato. Un ordenamiento de r de éstos objetos se denomina permutación r o permutación de n objetos tomados r a la vez.
La siguiente fórmula aplica…
- Si existen n elementos diferentes disponibles. (No aplica si algunos elementos son iguales)
- Se selecciona r de los n elementos
- Los reordenamientos de los mismos elementos se consideran secuencias diferentes
_{n}P_{r} = \frac {n!} {(n-r)!}
Ejemplo: 4 sitios disponibles
¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?
Respuesta
_{10}P_{4} = \frac {10!}{(10-4)!}= 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 maneras.
Ejemplo: 3 premios
En una clase de 10 alumnos se van a distribuir 3 premios. ¿De cuántas formas puede hacerse si los premios son diferentes?
Repuesta: \frac{10!}{(10-3)!}
= 10 x 9 x 8 = 720 formas
Permutaciones con repeticiones
Cuando se desea conocer el número de permutaciones de un conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales.
La siguiente fórmula aplica cuando…
- Existen n elementos disponibles, y algunos de ellos son idénticos a otros
- Seleccionamos todos los n elementos (sin reemplazo)
- Consideramos que los reordenamientos son secuencias diferentes.
=\frac{n!}{n1! n2! ... nk!}
Ejemplo: Señales con banderas
En un barco se pueden izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9 banderas?
Respuesta:
\frac {9!} {3! 2! 4!} = 1260 señales diferentes.
Ejemplo: Sociological
Utilizando las letras de la palabra SOCIOLOGICAL, ¿cuántas permutaciones distintas pueden formarse?
Respuesta: Hay 12 letras en la palabra, y 3 de ellas son O, 2 son C, 2 son I, y 2 son L.
Por lo que hay \frac {12!} {3! 2! 2!} formas.
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